(没)確率過程ミニマム01 分散が経過時間に等しい正規分布

 

　確率過程の話をする際、ブラウン運動の話を回避することは難しいように思います。ブラウン運動とは、簡単に言ってしまうと、『粒子がランダムにジグザグの運動をしている』、とイメージのものですが、このイメージを数学語に直して議論するのは非常に大変です。そこで、問題の切り分けをして、ブラウン運動そのものではなく、ブラウン運動が従う正規分布の話をしたいと思います。

　定義の詳細に入る前に、時系列データの表記を短くするため、『時刻において値である』ことを『である』と書くことにします。

定義　ブラウン運動の確率分布

　実数上で値を取る、連続時間で定義される時系列データがあるとします。今、であり、時刻において、位置からの区間に値を釣る存在する確率が、

\begin{align} \int^a_b \rho( (t,x);(t_0,x_0) )\mathrm{d}x:=\int^a_b \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2\pi \bar{t}}} \mathrm{exp} \bigg(-\frac{\bar{x}^2}{2\bar{t}}\bigg)\end{align}

(ただし、

\begin{align} \bar{t} &= t-t_0\\ \bar{x} &= x-x_0 \end{align}

とします)

で与えられる時、その値は、標準ブラウン運動していると定義します*1。また、のことを標準ブラウン運動の確率密度と呼び、とにしか依存していないことから、と略記します。

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　ブラウン運動の確率密度は、分散が経過時間に等しい正規分布と解釈することができます。正規分布は代表的な確率分布であり、様々な書籍やネット資料にあるので、ここでは触れませんが、以降で使う2つの性質を確認しておこうと思います。

• 時刻における、におけるの期待値は、が偶数ならに比例し、が奇数であるなら0である。

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証明

期待値は以下の積分で与えられます。

\begin{align} 期待値&=\int^\infty_{-\infty} (x-x_0)^n \rho( t-t_0,x-x_0 )\mathrm{d}\\x&= \int^\infty_{-\infty} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2\pi \bar{t}}} \bar{x}^n \mathrm{exp} \left(-\frac{\bar{x}^2}{2\bar{t}}\right)\end{align}

が奇数の場合、奇関数の積分であることから、0となることが分かります。

が偶数の場合、と置くと、

\begin{align}\mathrm{d}q &= \frac{x \mathrm{d}x}{\bar{t}}=\frac{\sqrt{2q}\mathrm{d}x}{\sqrt{\bar{t}}}\\\mathrm{d}x &= \sqrt{\frac{\bar{t}}{2q}}\mathrm{d}q \end{align} 

 であるので、

\begin{align} 期待値&= 2\int^\infty_{0} \frac{\sqrt{\frac{\bar{t}}{2q}}\mathrm{d}q }{\sqrt{2\pi\bar{t}}}(2\bar{t}q)^{\frac{n}{2}} \mathrm{exp} \left(-q\right)\\&=\frac{2^{\frac{n}{2}}\bar{t}^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{\pi}}\int^\infty_{0} q^{\frac{n-1}{2}} \mathrm{exp} \left(-q\right)\end{align}

 となります。最終式の積分は、置換積分をすれば、

\begin{align} \int^\infty_{0} q^{\frac{n-1}{2}} \mathrm{exp} \left(-q\right)&=\frac{n-1}{2}\int^\infty_{0} q^{\frac{n-3}{2}} \mathrm{exp} \left(-q\right)\\&\ \ \vdots\\&=\frac{n-1}{2}\frac{n-3}{2}\cdots\frac{1}{2}\int^\infty_{0} q^{-\frac{1}{2}}\mathrm{exp} \left(-q\right)\end{align}

 となり、最終式の積分は、と置くと、であるので、

\begin{align} \int^\infty_{0} q^{-\frac{1}{2}}\mathrm{exp} \left(-q\right)\mathrm{d}q&=\frac{1}{2}\int^\infty_{-\infty}\mathrm{exp}\left(-\frac{s^2}{2}\right)\sqrt{2}\mathrm{d}s\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2\pi}\sqrt{2}\\&=\sqrt{\pi}\end{align}

 となります。最後の積分はガウス積分の公式を使いました。合わせると、

\begin{align} 期待値&= \frac{2^{\frac{n}{2}}\bar{t}^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{\pi}}\frac{(n-1)!!}{2^{\frac{n}{2}}}\sqrt{\pi}\\&=\bar{t}^{\frac{n}{2}}(n-1)!!\end{align}

 となり、示されました。

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• からを通過してに至る確率密度の(に関する)総和である』というものです。

　これは、標準ブラウン運動の確率密度関数を考える際に、途中の点での確率に分割して考えることができるという、良い性質を示しています*2。

　この事実の証明は以下の長い計算をすることによって得られます。

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証明

計算の見栄えを良くするために、

\begin{align} \begin{split} \Delta t_i &:= t_{i+1}-t_i\\ \Delta x_i &:= x_{i+1}-x_i\end{split}&&\begin{split}\bar t &:= t-t_0\\ \bar x &:= x-x_0 \end{split}&&\begin{split}t_2 &:= t\\ \bar x_2 &:= x \end{split}\end{align}

という表記を導入しましょう。そうすると、

\begin{align} 総和 &=\int^\infty_{-\infty}\mathrm{d}x_1 \rho( (t,x);(t_1,x_1) )\rho( (t_1,x_1),(t_0,x_0) ) \\ &=\int^\infty_{-\infty}\frac{\mathrm{d}x_1}{\sqrt{2\pi \Delta t_1}\sqrt{2\pi \Delta t_0}} \mathrm{exp}\bigg(-\frac{\Delta x_0^2}{2\Delta t_0}-\frac{\Delta x_1^2}{2\Delta t_1}\bigg)\end{align}

で、指数関数の肩は

\begin{align}-2\times 肩&=\frac{\Delta x_0^2}{\Delta t_0}+\frac{\Delta x_1^2}{\Delta t_1}\\ &=\bigg(\frac{1}{\Delta t_0}+\frac{1}{\Delta t_1}\bigg)x_1^2-\bigg(\frac{2x_0}{\Delta t_0}+\frac{2x_2}{\Delta t_1}\bigg)x_1+\bigg(\frac{x_0^2}{\Delta t_0}+\frac{x_2^2}{\Delta t_1}\bigg) \end{align}

と整理でき、さらに、

\begin{align} -2\times\frac{1}{\frac{1}{\Delta t_0}+\frac{1}{\Delta t_1}}\times肩 & =-2\times\frac{\Delta t_0\Delta t_1}{\Delta t_0+\Delta t_1}\times肩\\ & =x_1^2-\frac{\Delta t_0\Delta t_1}{\Delta t_0+\Delta t_1}\bigg(\frac{2x_0}{\Delta t_0}+\frac{2x_2}{\Delta t_1}\bigg)x_1+\frac{\Delta t_0\Delta t_1}{\Delta t_0+\Delta t_1}\bigg(\frac{x_0^2}{\Delta t_0}+\frac{x_2^2}{\Delta t_1}\bigg)\\ &=\bigg[x_1 -\frac{\Delta t_0\Delta t_1}{\Delta t_0+\Delta t_1}\bigg(\frac{x_0}{\Delta t_0}+\frac{x_2}{\Delta t_1}\bigg)\bigg]^2 -\bigg[\frac{\Delta t_0\Delta t_1}{\Delta t_0+\Delta t_1}\bigg(\frac{x_0}{\Delta t_0}+\frac{x_2}{\Delta t_1}\bigg)\bigg]^2 +\frac{\Delta t_0\Delta t_1}{\Delta t_0+\Delta t_1}\bigg(\frac{x_0^2}{\Delta t_0}+\frac{x_2^2}{\Delta t_1}\bigg) \end{align}

であるので、上式第2項と第3項は、

\begin{align} \frac{第2項と第3項}{\frac{\Delta t_0\Delta t_1}{\Delta t_0+\Delta t_1}} & = \bigg[-\frac{\Delta t_0\Delta t_1}{\Delta t_0+\Delta t_1}\bigg(\frac{x_0}{\Delta t_0}+\frac{x_2}{\Delta t_1}\bigg)^2+\frac{x_0^2}{\Delta t_0}+\frac{x_2^2}{\Delta t_1}\bigg]\\ &= \bigg[-\frac{1}{\Delta t_0+\Delta t_1}\frac{\Delta t_1}{\Delta t_0}x_0^2 -\frac{2}{\Delta t_0+\Delta t_1}x_0 x_2 -\frac{1}{\Delta t_0+\Delta t_1}\frac{\Delta t_0}{\Delta t_1}x_2^2 +\frac{x_0^2}{\Delta t_0}+\frac{x_2^2}{\Delta t_1}\bigg]\\ &= \bigg[\frac{1}{\Delta t_0}\bigg(1-\frac{\Delta t_1}{\Delta t_0+\Delta t_1}\bigg)x_0^2 -\frac{2}{\Delta t_0+\Delta t_1}x_0 x_2 +\frac{\Delta t_0}{\Delta t_1}\bigg(1-\frac{\Delta t_0}{\Delta t_0+\Delta t_1}\bigg)x_1^2\bigg]\\ &= \frac{(x_2-x_0)^2}{\Delta t_0+\Delta t_1} \\&=\frac{\bar{x}^2}{\bar{t}}\end{align}

と2乗の形に書けることが分かります。従って、肩の部分は全体として、

\begin{align} 肩 &=-\left(\frac{\bar{t}}{2\Delta t_0\Delta t_1}\right) \left[ x_1 -\frac{\Delta t_0 \Delta t_1}{\Delta t_0 + \Delta t_1} \left(\frac{x_0}{\Delta t_0}+\frac{x_1}{\Delta t_1}\right) \right]^2-\frac{\bar{x}^2}{2\bar{t}} \end{align}

となり、指数関数の積分は、

\begin{align} \int^\infty_{-\infty} \mathrm{d}x_1 \mathrm{exp} (肩) &=\sqrt{\frac{2\pi \Delta t_0\Delta t_1}{\bar t}}\mathrm{exp}\left(-\frac{\bar{x}^2}{2\bar t}\right)\end{align}

となります。総和は上記積分を定数倍したもので、

\begin{align} 総和 &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \Delta t_1}\sqrt{2\pi \Delta t_0}} \sqrt{\frac{2\pi \Delta t_0\Delta t_1}{\bar t}}\mathrm{exp}\left(-\frac{\bar{x}^2}{2\bar t}\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi \bar t}} \mathrm{exp}\left(-\frac{\bar{x}^2}{2\bar t}\right) \\ &=\rho( (t,x);(t_0,x_0) ) \end{align}

となり、座標の粒子が、座標に到達する確率密度が得られることが分かります。

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ここまでなかなか長く面倒くさい内容であったと思います。しかし、これだけのことが分かれば、以降の議論が展開できるという意味で、十分報われることと信じております。

*1:このような言い方は多少冗長だと僕は感じています。そこで、誤解の恐れがない時はもっと簡単に、『からへの確率密度は』みたいな言い方を採用したいと思います。

*2:残念ながら、そうならない場合もあるのです。二重スリットの実験をググると分かるでしょう