金融工学を勉強する為のブログ

金融工学のお勉強結果を書いていきます。間違っていることもあるかもしれませんが、大目に見ていただけると助かります。

確率過程ミニマム01　正規分布する株価模型(1)

 

　なんでもそうだと思いますが、イメージがわかないとなかなか頭に入っていかないものです。数学の議論をああだこうだ書く前に、どういう系を模型化したいかを記載しようと思います。

　株価、僕の押しは任天堂(7974)*1ですが、こいつを数学的に扱うにはどうしたらいいかを考えます。

　まずは、株価の値動きをGoogleで実際に見て見ましょう。

 google 株 任天堂 - Google 検索

任天堂の株価の時系列データを見ることができると思います。タブを選ぶことにより、1日、5日、1ヶ月、1年、5年、最大と時間スケールを変えて値動きを確認することができると思います。このグラフに対して、注目したい点がふたつあります。

  1. 一日のグラフは5分間隔である
  2. ギザギザのグラフになっている

*1:仕事で株関係の検証をするときは、意図的に任天堂を選んでます（笑）

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確率過程ミニマム01　モデルについて

 

　なんでもそうだと思いますが、イメージがわかないとなかなか頭に入っていかないものです。数学の議論をああだこうだ書く前に、どういう系を模型化したいかを記載しようと思います。

　株価、僕の押しは任天堂(7974)*1ですが、こいつを数学的に扱うにはどうしたらいいかを考えます。

　まずは、株価の値動きをGoogleで実際に見て見ましょう。

 google 株 任天堂 - Google 検索

任天堂の株価の時系列データを見ることができると思います。タブを選ぶことにより、1日、5日、1ヶ月、1年、5年、最大と時間スケールを変えて値動きを確認することができると思います。このグラフに対して、注目したい点がふたつあります。

  1. 一日のグラフは5分間隔である
  2. ギザギザのグラフになっている

　1つ目、時間間隔5分は、googleさんの決めの問題のようです。株価は取引によって変動し、実際には、もっと細かい間隔で取引されています！　ただ、いくら細かいといっても下限があると推定されます。そこで、ひとまず、離散時間における時系列データを想定して理論を作ってみることにしましょう。

　格好つけた言い方をすると、こんな感じでしょうか？

『今日の時刻t_0と今日の株価S_0に対して、未来のN個の時刻t_i, (i=1,2,\cdots N)における株価 S_iについて模型化する』

　離散時間は、計算がかえってめんどくさくなる事がしばしばあります。そこで、離散時間で模型化し、その後、時間を連続化して計算の利便化を図るということを考えます*2。

 　2つ目、ギザギザは厄介な性質です！　滑らかなグラフであるなら、傾向を把握して次にどうなるかを予測することができますが、ギザギザであると、次にどっちにいくか、まったく予想がつきません。気取った言い方をすると、

\begin{align} S_i &= f(t_i) \end{align}

となるような関数 f(\cdot)を特定することは無理そうです。これができれば、さぞかし大金持ちになれる魅力的な方針ですが、あきらめることにしましょう。

　違ったアプローチとして、今日の時刻t_0と今日の株価S_0に対して、未来の時刻t_iにおける株価 S_iの確率分布、

\begin{align} \rho( (t_i,S_i);(t_0,S_0) ) \end{align}

を求めるという方針が考えられます。この方針も、もしかしたら大金持ちになれるかもしれない魅力的な方針ですね。この方向で議論を進めていくことにします。

 

　さて、模型を考える際には、単純なものから出発して、順次複雑化していくのが定跡です。少なくとも特徴ぐらいはつかんでいるけど、シンプルな玩具模型を考えて見ましょう。

 

　まず、考えている時間間隔は等間隔であるとしましょう。すなわち、t_{i+1}-t_i:=\Delta t_iと定義し、\Delta t_iはiによらず一定( = \Delta t)であるとします。そして、時刻 t_iに株価が S_iであった時、時刻 t_{i+1}に株価が S_{i+1}から S_{i+1}+\mathrm{d}S_{i+1}にある確率を、

\begin{align} \rho( (t_{i+1},S_{i+1});(t_i,S_i) ) :=\frac{\mathrm{d}S_{i+1}}{\sqrt{2\pi\Delta t}}\mathrm{exp}\left(-\frac{\Delta S_i^2}{2\Delta t }\right)\end{align}

(ただし、

\begin{align} \Delta t_i &:= t_{i+1}-t_i\\ \Delta x_i &:= x_{i+1}-x_i\end{align}

とする) で与えられるとします。

 

 

 

 

*1:仕事で株関係の検証をするときは、意図的に任天堂を選んでます（笑）

*2:価格の値動きの幅にも当然下限がありますが、そこは無視します。確率密度が普通の確率とどう結びついているかを議論するのには有益ですが、そこを解説した確率論の本は沢山あるので、そっちを参照して下さい

(没)確率過程ミニマム01　分散が経過時間に等しい正規分布

 

　確率過程の話をする際、ブラウン運動の話を回避することは難しいように思います。ブラウン運動とは、簡単に言ってしまうと、『粒子がランダムにジグザグの運動をしている』、とイメージのものですが、このイメージを数学語に直して議論するのは非常に大変です。そこで、問題の切り分けをして、ブラウン運動そのものではなく、ブラウン運動が従う正規分布の話をしたいと思います。

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確率過程ミニマム00　前書きとはじめに

まえがき

 　僕は、これまでいろいろな確率論の本を勉強してきました。残念なことに、そのすべてをよく理解しているわけではありません。自分の数学力はそれほどある方ではないのですが、応用数学として見るなら、一分野を除いてそれほど難解ではないという印象を抱いています。 

　ただし、確率過程論については、集合論的な議論を経過せねばならない記載が多く、抽象的で分かりにくい印象を受けていました。もう少し、具体的、あえて言うなら、低俗的な理解の仕方があるのではないかと僕は考えています。

　僕自身、いろいろ試行錯誤する中、なかなか低俗的な論理展開で確率論を理解する方法を理解しました。*1ひとまず、勉強の嚆矢として、この自分なりの理解をここに書いてみようと思っています。

 　予定としては数学的にがちがちな本を勉強するつもりもあります。その時に見返してみて、論理の穴を見つけ、よりそれっぽい論理展開をすることができれば幸いです。

*1:きっと、コロモゴルフあたりがやっていると推測していますが、不勉強なのでよくわからない

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実験してみる

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標準

\begin{align} \left( \int_0^\infty \frac{\sin x}{\sqrt{x}} dx \right)^2 &=\sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} \\ &=\prod_{k=1}^\infty \frac{4k^2}{4k^2 - 1} = \frac{\pi}{2} \end{align}

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